MATEMATICA ... AppassionataMente

• se x<0 il doppio del numero è minore del suo quadrato
  (lo si può capire anche pensando al segno che assumono entrambi: il doppio rimane negativo come il numero, mentre il quadrato genera un numero positivo)
  
• se x=0 il doppio e il quadrato sono uguali
  (entrambi uguali a 0 - punto O)
  
• se 0<x<2 il doppio è maggiore del quadrato
  (il segmento di retta OA si trova "al di sopra " dell'arco di parabola OA)
  
• se x=2 il doppio e il quadrato sono uguali
  (entrambi uguali a 4 - punto A)
  
• se x>2 il doppio è minore del quadrato
  (l'arco di parabola che inizia dal punto A si trova "al di sopra" della semiretta di origine A)

FUNZIONI
Le funzioni: uno sguardo a tutto tondo
Colloquio con Lucilla Cannizzaro* a cura di Walter Maraschini**

 da TRECCANI-scuola

*Professore associato di Matematiche Complementari presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Roma 'La Sapienza'
**Docente di Matematica e Fisica presso l'Istituto 'Machiavelli' di Roma. Autore di libri di testo per la scuola superiore (www.maraschini.it)

Continuo la sistemazione dei materiali didattici prodotti in questi anni per i miei alunni.
I link sono nel box a destra del blog.

Traslazioni di funzioni (PdF)

"Le curve celebri" 
"Studio di ax+by+c=0"
"Studio di y = a x² + b x + c "
"La funzione cubica:  y = ax³ + bx² + cx + d",
creati con Derive, sono disponibili in formato PdF.

     2 x - 1
y = --------
         x² 
     

Consiglio di rivedere Funzioni razionali fratte (Power Point - zip)

La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da:

 y = ax³ + bx² + cx + d

I coefficienti del polinomio di 3° grado a secondo membro (a, b, c, d) sono numeri razionali.

Se a≠0                                        
si ha una cubica
Se a=0 e b≠0                             
si ha una parabola
Se a=0 e b=0 e c ≠0                
si ha una   retta non parallela all'asse x
Se a=0 e b=0 e c=0 e d≠0      
si ha una funzione costante (retta parallela all'asse x)
Se a=0 e b=0 e c=0 e d=0      
si ha   l' asse x

Download  dello studio della cubica.

Ho utilizzato  Derive; il file è apribile in formato pdf.

Nell' articolo del blog  : . TRASFORMAZIONI LINEARI . : , era stata trattata la simmetria centrale.
SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che, ad ogni punto P  del piano, associa  un punto P' tale che il segmento PP' abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP' ).
Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:
assegnati due punti  P(x, y) e P'(x',y'), tenendo conto che C(a,b) deve essere il punto medio di PP' si ha:

x' = 2a - x
y' = 2b - y

Esempio:  I punti P( 7, 4) e  P'( 1,2 ) sono corrispondenti nella simmetria centrale di centro  C( 4, 3 ).
Infatti si ha 1 = 2·4 - 7 e 2 = 2·3 - 4

Vediamo, ora, come si dimostra che una funzione y=f(x) gode di simmetria centrale rispetto ad un punto.

Nel caso che P e P' siano appartenenti ad una funzione y=f(x) si avrà:
P( x, f(x) ) e P' (x', f(x') ).

Trasformando la relazione precedente
y'= 2b - y
otterremo 
f( x' )= 2b - f(x)  e, sostituendo ad x'  l'espressione 2a -x, si ha
f( 2a - x )= 2b - f(x) 

da cui  

f(x) = 2b - f( 2a - x )

Tale verifica su f(x) ci permetterà di affermare che la funzione è simmetrica rispetto al punto C(a,b).

Riferimenti: : . LE SIMMETRIE ASSIALI . :  -  : . funzioni esponenziali e logaritmiche . : -

Consideriamo la funzione razionale fratta:       
      x³ + 1
y = ------------
        x

Tale funzione può essere anche scritta così:

                  1
y =  x²   +  ----
                  x

La differenza tra la funzione e la parabola y =   x²  è 1/x e,  per x tendente ad infinito, tale quantità  tende a zero.

Si ha allora un grafico di questo tipo:

 Data una funzione y = f (x) , si possono avere tre tipi di asintoti:

• asintoto verticale: quando x tende ad un valore finito e la funzione tende all' infinito
  
  • in questo caso la retta è parallela all'asse y ed ha equazione x = c, dove c è il valore al quale tende x
    • si ha quindi asintoto verticale se:
      lim f(x) = ∞
      x ->c
      
• asintoto orizzontale: quando x tende ad infinito e la funzione tende ad un valore finito

  • in questo caso la retta è parallela all'asse x ed ha equazione y = k , dove c è il valore al quale tende x
    • si ha quindi asintoto orizzontale se:
      lim f(x) = k
      x ->∞
    • si ha quindi asintoto orizzontale se:
      lim f(x) = k
      x ->∞ 
      
    
    
   
• asintoto obliquo: quando x tende ad infinito e la funzione tende ad  infinito "avvicinandosi" indefinitamente ad una retta di equazione y =mx + q
  • in questo caso la condizione necessaria per avere l'asintoto obliquo è lim f(x) = ∞
                                                                                                        x ->∞
  • si devono poi determinare gli eventuali  valori di m e q; per determinarli devono esistere ed essere finiti i seguenti limiti:

m = lim f(x)/ x      q = lim [ f(x) -mx]     entrambi per x tendente ad infinito
        

Per una curva che si estende all'infinito, retta cui la curva data si avvicina quanto si vuole, allorchè un punto si allontana indefinitamente sulla curva | Tangente in un punto improprio.

da "IL NUOVO ZINGARELLI" - Vocabolario della Lingua Italiana

• funzione razionale fratta con dominio D ={ x Î R / x ≠ ±1 }
• la funzione può essere scritta:   
        x(x²- 1)                                     x
  y = ------------     da cui si ottiene   y = ---
        2(x²- 1)                                      2
• Tale funzione rappresenta una retta che "subisce due interruzioni" in corrispondenza dei valori ±1.
• I limiti, per x —>-1 e  per x —>+1, esistono e sono finiti, ma non esistono i valori f(-1) e f(1) poichè x=±1 non appartengono al dominio di f.  La funzione presenta quindi due discontinuità dello stesso tipo (eliminabili)
• grafico:

Questo esempio è simile a quello dell'articolo Discontinuità di una funzione

Provare ora a studiare la funzione:

              1             2x ² - 2
g(x) = ------  =  ----------  
            f(x)          x ³ - x

Studiare le seguenti funzioni, con particolare riferimento alla continuità.

Si definisce simmetria assiale di asse s una trasformazione del piano in sè (una corrispondenza biunivoca) che associa ad ogni punto P un punto P', tale che il segmento PP' sia perpendicolare alla retta r e il suo punto medio M stia su s (cioè la retta s è asse del segmento PP').

Ricaviamo ora le equazioni di alcune simmetrie assiali nel piano cartesiano Oxy

SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE Y di equazione x = 0

Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P' si avrà:

u = -x
v = y

SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE X di equazione y = 0

Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P' si avrà:

u = x
v = -y

Se consideriamo una relazione nel piano cartesiano di equazione R(x,y) = 0, essa è simmetrica rispetto all'asse x se si ha:

R(x,y) = R(x,-y)

Se la relazione è una funzione di equazione y = f(x), essa NON PU0' essere simmetrica rispetto all'asse x perchè ad un valore di x corrispondono due valori distinti di y, in contraddizione con la definizione stessa di funzione.

Ci poniamo ora questo problema: assegnata una funzione y = f(x) "costruire" sia algebricamente che graficamente, la funzione y = t(x), simmetrica di f(x) rispetto all'asse y e y = g(x), simmetrica di f(x) rispetto all'asse x.

y = t(x) simmetrica di f(x) rispetto all'asse y

Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all'asse x si deduce che t(x) = f(-x)

y = g(x) simmetrica di f(x) rispetto all'asse x

Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all'asse x si deduce che g(x) = - f(x)

Si può osservare che il punto di f(x) appartenente anche all'asse di simmetria (asse x) risulta appartenenente anche alla funzione g(x) (punti uniti o invarianti).

OSSERVAZIONI e CONCLUSIONI:

Assegnata la funzione y = LN((x - 1)·(-x + 3))
il suo dominio in R è dato dai valori di x appartenenti a R tali che (x - 1)·(-x + 3) > 0

Risolvendo la disequazione prodotto SOLVE((x - 1)·(-x + 3) > 0, x)
si ottiene 1 < x < 3 che risulta essere il dominio della funzione.

Assegnata la funzione y = LN(x - 1)+ LN(-x + 3)
che si ottiene dalla precedente applicando una delle proprietà dei logaritmi, il suo dominio in R è dato dai valori di x appartenenti a R tali che x - 1 > 0 e -x + 3 > 0.

Si deve cioè risolvere un sistema di due disequazioni SOLVE([x - 1 > 0, -x + 3 > 0], [x])
si ottiene 1 < x < 3 che risulta essere il dominio della funzione.

In questo caso pur avendo risollto una disequazione prodotto e un sistema di disequazioni il dominio resta lo stesso; il grafico delle due funzioni sarà quindi lo stesso.

In altri casi il dominio cambia:

1 - y= LN((x - 1)·(x + 3))
2 - y= LN(x - 1)+ LN(x + 3)

Grafico della 1
Dominio: x<-3 v x>1 (si risolve una disequazione prodotto)

Grafico della 2
Dominio: x>1 (si risolve un sistema di disequazioni)

il gioco delle simmetrie nelle funzioni esponenziali e logaritmiche

Studio semplice di una funzione omografica

2 x - 1
y = ----------
-x + 3

- Dominio -x + 3 >< 0 x >< 3 (>< significa diverso)
- Intersezioni con assi:
con asse x
      2 x - 1
y = -------- ,        y = 0      per  x = 1/2 ,     y =0     La funzione passa per il punto A (1/2,0)
     -x + 3

con asse y
     2 x - 1
y = --------- ,       x = 0
     -x + 3

                           x = 0 , y = - 1/3                  La funzione passa per il punto B (0, -1/3)

- Asintoti: x=-d/c x=3 asintoto verticale, y=a/c y=-2 asintoto orizzontale

- Segno della funzione
      2 x - 1
y = ---------- ,
      -x + 3

y > 0     N>0      x >1/2 ,  D>0        -x + 3 >0 -x>-3 x<3

N------------------1/2++++++++++++++

D++++++++++++++++++++++3--------

Si ha: per x<1/2 y < 0

per x = 1/2 y = 0

per 1/20

per x>3 y<0

Si può poi fare una tabella per trovare le coordinate di qualche punto e tutte le informazioni vanno riportate nel piano cartesiano. mtb