MATEMATICA ... AppassionataMente

30/10/2004 12.04.00
Luca Pacioli e Leonardo Da Vinci
Lucia e Lucia classe 3alc

30/10/2004 12.04.00
La Rivoluzione scientifica nel 1600
Chiara e Giada classe 3alc

30/10/2004 12.04.00
LA CULTURA DEL SEICENTO TRA CRISI E PROGRESSO
Fabio (l'autore) e Giorgio (lo scrivano)

30/10/2004 12.04.00
I Più Eminenti Matematici Del Tempo Di Pascal-CARTESIO-FERMAT
Silvia 3alc

30/10/2004 12.04.00
MATEMATICI DEL '600: Pacioli e Descartes
Michela e Benedetta classe III A L.C.

30/10/2004 12.06.00
La matematica nel XVII secolo
Alessandra e Francesca IIIa l.c.

MEDIAEXPO2004

4 - 5 - 6 novembre 2004

presso

Università d'Informatica di Crema (CR)

( Via Bramante )

Speciale 2004

http://www.mediaexpo.it/PROGRAMMA04.htm
http://www.mediaexpo.it/LABORATORI04.htm

Salve ragazzi! Sarò a Crema a parlare di noi, della nostra esperienza con il blog!

Più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla. Incontri di Dante con la matematica Bruno D'AMORE 2001, f.to 15.5x23.5 cm, pp. 180, € 14.00 ISBN 88-371-1232-7 Indice: La taverna. A casa di Paolo. L'imago al cerchio. Angoli e triangoli. Angeli, tanti ma tanti angeli. Il Sole. Asini che volano. L'infinito. Necessità. Tabelline. Pitagora e l'armonia. Zara. Conigli. Una tartaruga in corsa. Un grosso cavolo. Piramidi. Siena.

L’Autore intende sfruttare una casuale doppia ricorrenza: da un lato il 2000, Anno Mondiale della Matematica", dall’altro gli anni 2000-2001, settecento anni dal "viaggio oltremondano" di Dante, celebrato nella sua Commedia. E lo fa in maniera narrativa, creando gustosissime scene nelle quali, in circostanze sempre molto diverse fra loro, Dante incontra la Matematica. La Commedia è intrisa di matematica, si sa, e lo si potrebbe mostrare facilmente con estrema correttezza esegetica. Ma l’Autore preferisce divertire con invenzioni che, alla piacevolezza narrativa, accostano però sempre un’acuta ed attentissima ricognizione storica e filologica. Non a caso, a testimonianza di ciò, le due prefazioni sono state affidate a ben noti studiosi: il primo commentatore di Dante, il secondo storico della Matematica. Il libro si rivolge: a tutti coloro che amano Dante e la poesia medievale; a tutti coloro che odiano Dante e la poesia medievale; a tutti coloro che amano la matematica; a tutti coloro che odiano la matematica; a tutti coloro che non hanno mai pensato che si potessero accostare tra loro due discipline così diverse; a tutti coloro che l’hanno sempre sospettato. Per la lettura di questo testo sono necessari alcuni prerequisiti: la conoscenza almeno della esistenza della Divina Commedia e una competenza matematica più o meno a livello di tabellina pitagorica. Bruno D'Amore: laureato in Matematica, Filosofia, Pedagogia, insegna Didattica delle Matematica alle Università di Bologna e Bolzano e, con una certa continuità, a Queretaro, Madrid e Bogotà, ma ha anche tenuto corsi di Storia della Matematica e di Logica della Matematica. Attivo nella ricerca in didattica, da molti anni si occupa assiduamente della presenza della matematica nell'opera di Dante. In questo campo è autore di alcuni saggi pubblicati in varie lingue ed è stato invitato come relatore a Convegni internazionali di studi su Dante.

Più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla
Incontri di Dante con la matematica

da http://www.matematicamente.it/libri/dante.htm

Segnalo

Per il progetto Orientamatica già segnalato qui , è stato definito il calendario:

http://www.orientamatica.it/online/doc/orientamatica_online.pdf

La presentazione del Progetto sarà a Perugia il 22 0ttobre 2004, presso il Dipartimento di Matematica e Informatica alle ore 15.30.

La scadenza delle iscrizioni è il 28 ottobre 2004

Il primo incontro per le classi QUINTE è il 29 ottobre 2004
Il primo incontro per le classi QUARTE è il 5 novembre 2004
Il primo incontro per le classi TERZE è il 3 dicembre 2004

Gli incontri sono sei per ogni classe, con date diversificate, ciascuno di due ore e mezzo.

Il 18 MARZO 2005 ci sarà il test finale per tutte le classi

Per i corsi on-line, con l'utilizzo di classi virtuali siamo in attesa delle date dagli organizzatori.

... guardate che foto stupenda ho trovato nel blog di Alidada

w e l c o m e ! !

"La matematica, come un atto creativo, interpreta fenomeni complessi,

è alla base di processi applicativi diversissimi tra loro e infine

si propone come ipotesi interpretativa nell'arte"

....buon viaggio !!!

webmaster:Prof.ssa Paola Barberis

Si chiama trasformazione lineare ogni corrispondenza biunivoca che trasforma rette in rette.

Le leggi generali sono:

      ⎡ u = a·x + b·y + p ⎤

#1:   ⎢                   ⎥

      ⎣ v = c·x + d·y + q ⎦

DEF1:

In una trasformazione si chiama PUNTO UNITO o INVARIANTE un punto che è corrispondente di se stesso.

DEF2:

In una trasformazione si chiama retta unita o invariante una retta che è corrispondente di se stessa; in particolare si dice PUNTUALMENTE INVARIANTE se è anche invariante ogni suo punto; in caso contrario si dice GLOBALMENTE INVARIANTE.

SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C (©,ß)

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che ad ogni punto P  del piano associa  un punto P' tale che il segmento PP' abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP' ).

Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:

assegnati due punti P(x, y) e P'(u,v), tenendo conto che C deve essere il punto medio di PP' si ha:

      ⎡  x + u      ⎤

      ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = α ⎥

      ⎢    2        ⎥

#2:   ⎢             ⎥

      ⎢  y + v      ⎥

      ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = β ⎥

      ⎣    2        ⎦

Ricavando dalle due equazioni le coordinate di  P' si ha:

           ⎛⎡  x + u      ⎤        ⎞

           ⎜⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = α ⎥        ⎟

           ⎜⎢    2        ⎥        ⎟

#3:   SOLVE⎜⎢             ⎥, [u, v]⎟

           ⎜⎢  y + v      ⎥        ⎟

           ⎜⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = β ⎥        ⎟

           ⎝⎣    2        ⎦        ⎠

      ⎡ u = 2·α - x ⎤

#4:   ⎢             ⎥

      ⎣ v = 2·β - y ⎦

 leggi di trasformazione dirette

           ⎛⎡ u = 2·α - x ⎤        ⎞

#5:   SOLVE⎜⎢             ⎥, [x, y]⎟

           ⎝⎣ v = 2·β - y ⎦        ⎠

      ⎡ x = 2·α - u ⎤

#6:   ⎢             ⎥

      ⎣ y = 2·β - v ⎦

 leggi di trasformazione inverse

Con Derive si può anche creare una funzione che applica le  #4 e le #6

DICHIARA-DEFINISCI FUNZIONE-NOME-VARIABILI

#7:   SIMC(x, y, α, β) ≔ [2·α - x, 2·β - y]

#8:   SIMC1(u, v, α, β) ≔ [2·α - u, 2·β - v]

ESEMPIO:

Sia C (3,2) il centro di simmetria . Dato  P(1,-1)  trovare il suo simmetrico P'.

1° METODO

Dalle leggi #4, sostituendo i valori di © e ß, si ha:

      ⎡ u = 2·3 - x ⎤

#9:   ⎢             ⎥

      ⎣ v = 2·2 - y ⎦

                                ⎡ u = 6 - x ⎤

#10:                            ⎢           ⎥

                                ⎣ v = 4 - y ⎦

Sostituendo a x e y le coordinate di P trovo, con il calcolo, le coordinate di P'

      ⎡  u = 6 - 1 ⎤

#11:  ⎢            ⎥

      ⎣ v = 4 - -1 ⎦

                                  ⎡ u = 5 ⎤

#12:                              ⎢       ⎥

                                  ⎣ v = 5 ⎦

Il punto P' ha coordinate (5,5).

2° METODO

Si utilizzano le funzioni definite SIMC e SIMC1 in # 7 e #8.

#13:  SIMC(1, -1, 3, 2)

#14:                                [5, 5]

Facciamo ora il grafico.

Con Derive i punti, per essere congiunti nel grafico,devono essere inseriti in una matrice; in questo caso di 3 righe e 2 colonne.

      ⎡ 3   2 ⎤

      ⎢       ⎥

#15:  ⎢ 1  -1 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎣ 5   5 ⎦

PROPRIETA' DELLE SIMMETRIE CENTRALI

1 - Ogni simmetria centrale scambia tra loro punti corrispondenti.

      dim:  Si dimosta sia geometricamente, che con le equazioni (scambiando le variabili).

2 - In una simmetria centrale di centro C:

a.  il centro è l'unico punto unito

b. ad ogni retta passante per C corrisponde se stessa, cioè è unita  ( globalmente invariante ).

3 - La simmetria di centro C

a. scambia ogni semiretta di origine C con la sua opposta

b. scambia tra loro tutti i semipiani opposti aventi come bordo le rette passanti per C.  

4 - In una simmetria centrale due rette corrispondenti sono parallele.

5 - TEOREMA

     Ogni simmetria centrale è una ISOMETRIA.

Corollario:    

· retta           ˜    retta

· semiretta    ˜    semiretta

· angolo       ˜  angolo isometrico

· triangolo    ˜     triangolo isometrico

· figura         ˜  figura isometrica

Dimostrazione 2a:  Il centro di simmetria è l'unico punto unito.

Applichiamo la trasformazione al punto C (©,ß)

      ⎡ u = 2·α - x ⎤

#16:  ⎢             ⎥

      ⎣ v = 2·β - y ⎦

      ⎡ u = 2·α - α ⎤

#17:  ⎢             ⎥

      ⎣ v = 2·β - β ⎦

                                  ⎡ u = α ⎤

#18:                              ⎢       ⎥

                                  ⎣ v = β ⎦

Dimostrazione 4:  In una simmetria centrale due rette corrispondenti sono parallele.

Consideriamo l'equazione di una retta  r   ax + by + c = 0 e le trasformazioni inverse; sostituiamo al posto di x e y della retta le leggi di trasformazione.

Otterremo l'equazione di una retta r' con incognite u e v che avrà lo stesso coefficiente angolare di r: quindi le due rette saranno parallele.

#19:  a·x + b·y + c = 0

      ⎡ x = 2·α - u ⎤

#20:  ⎢             ⎥

      ⎣ y = 2·β - v ⎦

#21:  a·(2·α - u) + b·(2·β - v) + c = 0

#22:  SOLVE(a·(2·α - u) + b·(2·β - v) + c = 0, [u, v, a, b])

#23:                  a·u + b·v - 2·a·α - 2·b·β - c = 0

Dimostrazione 2b:  Ogni retta passante per C è unita ( globalmente invariante ).

Abbiamo dimostrato nel punto precedente che la retta r viene trasformata in una sua parallela, supponiamo ora che la retta r passi per C.

Per l'appartenenza del punto C alla retta r si ha:

#24:  a·α + b·β + c = 0

#25:  SOLVE(a·α + b·β + c = 0, [c])

#26:                           c = - a·α - b·β

Sostituendo ora questa espressione di c (#26)  nella #23 otterremo l'equazione della retta in u e v con gli stessi coefficienti di r

( e quindi la stessa retta riportando poi le variabili in x e y ):

#27:  a·u + b·v - 2·a·α - 2·b·β - (- a·α - b·β) = 0

#28:  SOLVE(a·u + b·v - 2·a·α - 2·b·β - (- a·α - b·β) = 0, [u, v, α, β])

#29:                      a·u + b·v - a·α - b·β = 0

#30:  a·u + b·v + c = 0

#31:  a·x + b·y + c = 0

Dimostrazione 5:

Ogni simmetria centrale è una isometria

Si deve dimostrare che due qualsiasi segmenti AB e A'B' che si corrispondono in una simmetria centrale di centro C sono isometrici.

Consideriamo A(a,b), B(c,d), A'(e,f), B'(g,h) e le leggi di simmetria centrale di centro © e ß (#4 o #7)e dimostriamo che la distanza AB è uguale alla distanza A'B'.

               2          2

#32:  √((c - a)  + (d - b) )

                        2            2            2    2

#33:                 √(a  - 2·a·c + b  - 2·b·d + c  + d )

               2          2

#34:  √((g - e)  + (h - f) )

      ⎡ u = 2·α - x ⎤

#35:  ⎢             ⎥

      ⎣ v = 2·β - y ⎦

                               2                          2

#36:  √(((2·α - c) - (2·α - a))  + ((2·β - d) - (2·β - b)) )

                        2            2            2    2

#37:                 √(a  - 2·a·c + b  - 2·b·d + c  + d )

Come si vede la #33 e la #37 (cioè AB e A'B') sono uguali.

                                                                                        q.e.d.

Facciamo ora il grafico di un segmento e del suo corrispondente in una simmetria centrale.

Consideriamo C(3,1), A(1,2), B(2,4) e A', B'  i corripondenti nella ÞC che troveremo con le leggi di trasformazione, usando #7

#38:  SIMC(x, y, α, β) ≔ [2·α - x, 2·β - y]

#39:  SIMC(1, 2, 3, 1)

#40:                                [5, 0]

A' ha coordinate (5,0)

#41:  SIMC(2, 4, 3, 1)

#42:                               [4, -2]

B' ha coordinate (4,-2)

Inseriamo ora i punti (5 punti) in una matrice di 7 righe e due colonne per fare il grafico (si devono ripetere le coordinate dei punti da collegare: in questo caso C ed A)

      ⎡ 1   2 ⎤

      ⎢       ⎥

      ⎢ 2   4 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎢ 3   1 ⎥

      ⎢       ⎥

#43:  ⎢ 5   0 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎢ 4  -2 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎢ 3   1 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎣ 1   2 ⎦

Facciamo ora il grafico di una figura F e della sua corrispondente F' in una simmetria centrale di centro C(3,2).

Diamo le coordinate dei vertici di F:

A(-4,2), B(-2,5), D(1,5), E(1,-3) e troviamo con SIMC(x,y,©,ß)  le coordinate dei punti A',B',D',E' e poi li mettiamo in matrice per fare il grafico collegando i punti.

#44:  SIMC(-4, 2, 3, 2)

#45:                               [10, 2]

#46:  SIMC(-2, 5, 3, 2)

#47:                               [8, -1]

#48:  SIMC(1, 5, 3, 2)

#49:                               [5, -1]

#50:  SIMC(1, -3, 3, 2)

#51:                                [5, 7]

      ⎡ -4   2 ⎤

      ⎢        ⎥

      ⎢ -2   5 ⎥

      ⎢        ⎥

#52:  ⎢  1   5 ⎥

      ⎢        ⎥

      ⎢  1  -3 ⎥

      ⎢        ⎥

      ⎣ -4   2 ⎦

      ⎡ 10   2 ⎤

      ⎢        ⎥

      ⎢  8  -1 ⎥

      ⎢        ⎥

#53:  ⎢  5  -1 ⎥

      ⎢        ⎥

      ⎢  5   7 ⎥

      ⎢        ⎥

      ⎣ 10   2 ⎦

#54:  [[3, 2]]

      ⎡ -4  2 ⎤

      ⎢       ⎥

#55:  ⎢  3  2 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎣ 10  2 ⎦

      ⎡ -2   5 ⎤

      ⎢        ⎥

#56:  ⎢  3   2 ⎥

      ⎢        ⎥

      ⎣  8  -1 ⎦

      ⎡ 1   5 ⎤

      ⎢       ⎥

#57:  ⎢ 3   2 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎣ 5  -1 ⎦

      ⎡ 1  -3 ⎤

      ⎢       ⎥

#58:  ⎢ 3   2 ⎥

      ⎢       ⎥

      ⎣ 5   7 ⎦

NOTA BENE: per scaricare il file completo sulle SIMMETRIE ASSIALI e CENTRALI vai qui: http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/4166ecf12896dTEORIAtgSA.rtf

http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/4166f6270f771TEORIAtgSC.rtf

http://www.orientamatica.it/index.php?page=online/obiettivi.php

Il progetto completo in formato pdf

Prof. Calogero Gugliotta Personal Home Page

Liceo Scientifico "E.Fermi" Menfi Matematica e Fisica Triennio Corso A

http://digilander.libero.it/gugliotta1/index.htm

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a cura del Prof. Paolo Urbani

La ricchezza e la nobiltà dell'animo

Tutti sanno cosa sia il premio Nobel ma pochi, forse, associano questa prestigiosa onorificenza al nome di un chimico svedese inventore di una sostanza divenuta celeberrima per la sua grande utilità ma anche per il suo terribile potere distruttivo: la dinamite.

Si definisce simmetria assiale di asse s una trasformazione del piano in sè (una corrispondenza biunivoca) che associa ad ogni punto P un punto P', tale che il segmento PP' sia perpendicolare alla retta r e il suo punto medio M stia su s (cioè la retta s è asse del segmento PP').

Ricaviamo ora le equazioni di alcune simmetrie assiali nel piano cartesiano Oxy

SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE Y di equazione x = 0

Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P' si avrà:

u = -x
v = y

SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE X di equazione y = 0

Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P' si avrà:

u = x
v = -y

Se consideriamo una relazione nel piano cartesiano di equazione R(x,y) = 0, essa è simmetrica rispetto all'asse x se si ha:

R(x,y) = R(x,-y)

Se la relazione è una funzione di equazione y = f(x), essa NON PU0' essere simmetrica rispetto all'asse x perchè ad un valore di x corrispondono due valori distinti di y, in contraddizione con la definizione stessa di funzione.

Ci poniamo ora questo problema: assegnata una funzione y = f(x) "costruire" sia algebricamente che graficamente, la funzione y = t(x), simmetrica di f(x) rispetto all'asse y e y = g(x), simmetrica di f(x) rispetto all'asse x.

y = t(x) simmetrica di f(x) rispetto all'asse y

Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all'asse x si deduce che t(x) = f(-x)

y = g(x) simmetrica di f(x) rispetto all'asse x

Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all'asse x si deduce che g(x) = - f(x)

Si può osservare che il punto di f(x) appartenente anche all'asse di simmetria (asse x) risulta appartenenente anche alla funzione g(x) (punti uniti o invarianti).

OSSERVAZIONI e CONCLUSIONI: